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Aufgabe:

In der letzten Klausur konnten maximal 40 Punkte erreicht werden. Nina möchte gerne ihr Ergebnis wissen und fragt ihren Mathematik-Lehrer. Lehrer D., mal wieder den Schalk im Nacken, antwortet:

a) Ein Teiler deiner Gesamtpunktzahl ist eine Mirpzahl.

b) Wenn du die Quersumme deiner Gesamtpunktzahl verdoppelst und 7 addierst, erhältst du auch eine Mirpzahl.

Kann Nina aus diesen Angaben ihre Punktzahl eindeutig bestimmen und wenn ja, wie lautet sie?

Hinweis: Eine Mirpzahl ist eine Primzahl, die von rechts nach links gelesen eine andere Primzahl ergibt. Die 13 ist demnach die erste Mirpzahl. Liest man mirp von rechts nach links, so erhält man übrigens das Wort prim.

Lösung: Auch dieses Mal wurden etliche korrekte Ergebnisse eingesandt. Exemplarisch wird hier die Lösung von Paula Burggraf (Ea) gezeigt:

Die in der Grafik zu sehenden Gebiete A, B, C, D und E sollen so gefärbt werden,

dass benachbarte Gebiete verschiedene Farben haben. Auf wie viele Arten kann

man dies tun, wenn man

a) 4 verschiedene Farben zur Auswahl hat?

b) 5 verschiedene Farben zur Auswahl hat?

c) n verschiedene Farben zur Auswahl hat?

Hinweis: Es ist nicht erforderlich, alle Farben zu benutzen.

Wer möchte, kann mir seine Überlegungen per Mail schicken.

Wie immer gibt es neben Ruhm und Ehre viele N.E.R.D.-Punkte zu ergattern.

Lösung

A, B und C können auf n untere Faktorielle 3 = n(n-1)(n-2)= n!/(n-3)! Arten eingefärbt werden. Dann muss man zwei Fälle unterscheiden.

i) Hat D dieselbe Farbe wie B, so hat E (n-3) verbleibende Farben + die Farbe von C zur Verfügung, also insgesamt (n-2).

ii) hat D eine andere Farbe als B, so hat D (n-3) Möglichkeiten und E (n-4+1), also ebenfalls (n-3). Daraus ergeben sich (n-3)² Kombinationen.

Insgesamt erhalten wir also für die Zahl der Färbungen

n!/(n-3)!(n-2+(n-3)²) = (n³-3n²+2n)(n²-5n+7)= n⁵-8n⁴+24n³-31n²+14n

Setzen wir n=4, so erhalten wir 72 Möglichkeiten, für n=5 sind es 420.